Question

已知函数，x∈R．

（1）判断函数的奇偶性，并说明理由；

（2）利用函数单调性定义证明：在上是增函数；

（3）若对任意的x∈R，任意的 恒成立，求实数k的取值范围．

Answer

（1）是偶函数，证明详见解析；（2）详见解析；（3）.

【解析】

（1）由奇偶性定义判断证明；

（2）由单调性定义证明；

（3）设，换元后求出的最大值，由（2）求出有最小值，然后解不等式可得k的范围．

（1）是偶函数．证明如下：

函数的定义域为，关于原点对称，

∵ ，

∴ 是偶函数．

（2）设，则，

由，知，，于是，

∴，

∴ ，即，

∴ 在上是增函数．

（3）设，则

，

令，易知，则，

又∵ 是R上的偶函数，且在上单调递增，则该函数在区间上单调递减，∴ ，

∴ 由题意只需4+k≤6，解得k≤2，即k的取值范围为．