Question

已知函数，且.

（1）判断并证明在区间上的单调性；

（2）若函数与函数在上有相同的值域，求的值；

（3）函数，若对于任意，总存在，使得成立，求的取值范围.

Answer

（1）见解析；（2）；（3）

【解析】

（1）利用单调性的定义证得在上的单调性.

（2）根据在上的单调性，求得在上的值域，由此求得的值.

（3）由（1）求得在上的值域，由此列不等式，解不等式求得的取值范围.

（1）在区间上为减函数.任取，，由于,，，所以，所以在上递减.

（2）因为在上递减，所以其值域为，即时，.因为为最大值，所以最小值只能为或.若，则.若，则.综上所述，.

（3）当，时，在上递减，所以在上的最大值为，最小值为.由（2）知在上的值域为.所以，所以，解得.