Question

如图，是一个三棱锥，是圆的直径，是圆上的点，垂直圆所在的平面，，分别是棱，的中点.

（1）求证：平面；

（2）若二面角是，，求与平面所成角的正弦值.

Answer

（1）证明见解析；（2）.

【解析】

（1）可证，，再利用可得，，从而可证平面.

（2）可证为二面角的平面角，再以为坐标原点，，，方向分别为轴，轴，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系. 求出平面的法向量和直线的方向向量后可求与平面所成角的正弦值.

（1）因为是圆的直径，所以.

因为垂直圆所在的平面，且在该平面中，所以.

因为，分别是棱，的中点，

所以，所以，

又因为，所以有平面.

（2）由（1）可知，，，

所以为二面角的平面角，

从而有，则.

又，，得.

以为坐标原点，，，方向分别为轴，轴，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.

则，，，

，，，

，，

.

设是平面的法向量，则

即可取.

故.

所以直线与平面所成角的正弦值为.