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众所周知的“太极图”,其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起,因而也被称为“阴阳鱼太极...

众所周知的“太极图”,其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起,因而也被称为“阴阳鱼太极图”.如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”,整个图形是一个圆形,其中黑色阴影区域在y轴右侧部分的边界为一个半圆.给出以下命题:

①在太极图中随机取一点,此点取自黑色阴影部分的概率是

②当时,直线与黑色阴影部分有公共点;

③黑色阴影部分中一点,的最大值为2

其中所有正确结论的序号是(    )

A. B. C.①③ D.①②

 

D 【解析】 黑色阴影部分和白色部分面积相等,①中概率易求,由直线与半圆的位置关系可确定②是否正确,点在半圆上时,才能取最大值,求出这个最大值可判断③. 由对称性知黑色阴影部分和白色部分面积相等,因此在太极图中随机取一点,此点取自黑色阴影部分的概率是,①正确; 黑色阴影区域在y轴右侧部分的边界为一个半圆,其方程为(),直线的一般式方程为:,,说明直线与半圆相切,②正确; 点在半圆()上,设, ,由得, ∴时,取得最大值为,③错. 正确的有①② 故选:D.
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