Question

已知集合，.

（1）判断与集合的关系，并说明理由；

（2）中的元素是否都是周期函数，证明结论；

（3）中的元素是否都是奇函数，证明你的结论.

Answer

（1）；详见解析（2）都是周期函数；证明见解析（3）不都是，证明见解析

【解析】

（1）根据所给的函数解析式，把函数带入进行验证，得到.

（2）根据的周期为，猜想也是周期为的周期函数.由，得到，得到，得证的周期为.

（3）令，可证得：，所以，但为偶函数，故中的元素不都是奇函数.

（1）因为

所以.

（2）因为，

所以的周期为，猜想也是周期为的周期函数.

因为，得到：.

所以

即：.

所以.

所以的周期为.

（3）令，可证得：，

所以，但为偶函数，不是奇函数.

故中的元素不都是奇函数.