Question

已知数列的前n项和为，满足()；数列为等差数列．且，．

（1）求数列和的通项公式；

（2）若为数列的前n项和，求满足不等式的n的最大值．

Answer

（1）， （2）9

【解析】

（1）根据等式，令，可求出，再当≥时，由可得，再结合可确定数列的通项公式，即可得和的值，进而得到和的值，因为数列为等差数列，可求出公差d，然后得出数列通项公式；（2）先根据数列的通项公式求出，再表示出，然后用裂项相消法求出数列的前n项和，最后判断满足不等式的n的最大值．

【解析】
（1）因为，所以当时，，解得．

当≥时，，化简得．

又，所以，因此，

所以是首项为公比为2的等比数列，即；

又，，即，，所以，，

因为数列为等差数列，所以公差，故；

（2）由（1）知是首项为公比为2的等比数列，所以，

所以

，

故

．

若，即，即，

可得，所以，

综上，使得的最大的的值为9．