Question

如图，在三棱锥P—ABC中，PA＝3，PB＝PC＝，AB＝AC＝2，BC＝．

（1）求二面角B—AP—C大小的余弦值；

（2）求点P到底面ABC的距离．

Answer

（1） （2）

【解析】

（1）两三角形和三边都相等，则两三角形全等，过B向AP边做垂线，过C向AP边做垂线交于点D，那么就是要求的二面角，根据已知边长和余弦定理可求出二面角大小的余弦值；（2）取中点，连结，，在平面中作，垂足为，根据直线和平面的位置关系，结合各边的值以及余弦定理和正弦函数可得点P到底面ABC的距离。

【解析】
（1）在中作，垂足为，

因为，，为公共边，所以≌，又，所以，

所以为二面角的平面角；

又，所以，

故的面积，

所以，同理，

在中，，

所以，二面角大小的余弦值为．

（2）（法一）取中点，连结，，在平面中作，垂足为．

因为，所以．同理．

又，平面，平面，所以平面．

因为平面，所以．

又，，平面，平面，

所以平面，

因此，点到底面的距离即为的长；

在中，，

在中，，

在中，，

所以，，

在中，，

综上，点到底面的距离为．

（法二）由（1）知，，又，，

所以，则，

在中，，，

故.

则.

在中，，，则.

设点到底面的距离为，则，故.