Question

如图，点F为椭圆C：(a＞b＞0)的左焦点，点A，B分别为椭圆C的右顶点和上顶点，点P(，)在椭圆C上，且满足OP∥AB．

（1）求椭圆C的方程；

（2）若过点F的直线l交椭圆C于D，E两点（点D位于x轴上方），直线AD和AE的斜率分别为和，且满足﹣＝﹣2，求直线l的方程．

Answer

（1） （2）

【解析】

（1）由题意可知，再将点p的坐标代入椭圆方程，可解出a，b，即得椭圆C的方程；（2）可设直线的方程为，将它代入椭圆方程消去x，得到关于y和k的等式，再用A，D两点的坐标表示出，同理表示出，用k表示出﹣＝﹣2，解出k，又知道直线l上的点，即可求出直线l的方程。

【解析】
（1）由在椭圆上得； ①

由为的右顶点为的上顶点可知，．

因∥，所以，则； ②

联立①②得方程组解得故所求椭圆的方程为．

（2）（法一）因椭圆的方程为，所以，．

因直线的斜率不为0，可设直线的方程为，设，，

联立方程组消去得，

解得，故，，．

因，则，则，即，

化简得，故，

所以直线的方程为，即.

（法二）因椭圆的方程为，所以，．

当直线的斜率不存在时．

当直线的斜率存在时，设的方程为，设，，

联立方程组消去得，

解得，故，，．

因，则，由得

，即，

，，

化简得，解得，

所以直线的方程为，即．