Question

设定点，常数，动点，设，，且．

（1）求动点的轨迹方程；

（2）设直线：与点的轨迹交于，两点，问是否存在实数使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）（2）不存在．见解析

【解析】

（1）根据向量的表达式,可推断出点到两个定点,的距离之差为4,根据双曲线的定义判断出其轨迹为双曲线,进而根据和,求得,即可求得动点的轨迹方程．

（2）设将直线的方程代入椭圆的方程,消去得到关于的一元二次方程,再结合根与系数的关系利用向量数量积的坐标公式即可求得值,从判断的值是否存在．

（1）由题意,

∴动点的轨迹是以,为焦点的双曲线的右支,方程为；

（2）由直线:与点的轨迹方程,联立可得

设,,则,

∵

∴

∴

∴,

∵,

∴

检验时,所以不存在