Question

如图，设抛物线与的公共点的横坐标为，过且与相切的直线交于另一点，过且与相切的直线交于另一点，记为的面积.

（Ⅰ）求的值（用表示）；

（Ⅱ）若，求的取值范围.

注：若直线与抛物线有且只有一个公共点，且与抛物线的对称轴不平行也不重合，则称该直线与抛物线相切.

Answer

（Ⅰ）；（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）将的横坐标为代入抛物线解析式可得,再代入抛物线解析式,化简即可用表示的值.

（Ⅱ）设出点的坐标,结合M的坐标即可表示出直线的方程.联立抛物线,根据相切时判别式可得,表示出直线的方程.利用两点式表示出直线的斜率,即可用表示出点的坐标.同理可求得点的坐标.进而利用两点间距离公式表示出,利用点到直线距离公式求得到直线的距离,即可表示出的面积.结合的取值范围,即可求得的取值范围.

（Ⅰ）因点在抛物线:上,故

又点在抛物线：上,故,

则

（Ⅱ）设点,直线的方程为

联立方程组消去,得

则

因此

即直线的方程为

则直线的斜率

从而,即

同理,直线的方程为,点

因此

点到直线：的距离

故的面积

即

因为

即

解得.