Question

如图:双曲线:的左、右焦点分别为,,过作直线交轴于点.

(1)当直线平行于的一条渐近线时,求点到直线的距离;

(2)当直线的斜率为时,在的右支上是否存在点,满足？若存在,求出点的坐标;若不存在,说明理由;

(3)若直线与交于不同两点、,且上存在一点,满足(其中为坐标原点),求直线的方程.

Answer

（1）（2）在双曲线的右支上不存在点，满足，详见解析（3）

【解析】

(1) 双曲线:的左、右焦点分别为,,,,的渐近线方程为,由对称性可知:,根据点到直线的距离公式,即可求得答案;

(2) 直线的斜率为时,的方程为,设右支上的点的坐标为,则,由,得,结合已知,即可求得答案;

(3) 设:,联立与的方程,得,根据韦达定理,结合已知,即可求得答案.

(1) 双曲线:的左、右焦点分别为,

,,的渐近线方程为,

由对称性可知：,即,

到的距离.

（2）当直线的斜率为时,的方程为,故,

又 ,故,

设右支上的点的坐标为,则,

由,得,即:

由消去

得,

由根与系数的关系知,此方程无正根

在双曲线的右支上不存在点,满足.

（3）设,,则,

由点在曲线上,故①

设:.

联立与的方程,得,

由于与交于不同两点,

,

,

从而①即为,

解得.

即直线的方程为.