Question

正数数列、满足：≥，且对一切k≥2，k，是与的等差中项，是与的等比中项．

（1）若，，求，的值；

（2）求证：是等差数列的充要条件是为常数数列；

（3）记，当n≥2(n)时，指出与的大小关系并说明理由．

Answer

（1），.（2）见解析（3）

【解析】

（1）由题意得，解方程组可得所求．（2）证明结论“当为常数数列时，是公差为零的等差数列”和“是等差数列时为常数数列”同时成立即可．（3）由题意证得，进而得到，故得，然后通过数列求和可得结论成立．

（1）由条件得，即，

解得或，

又≥，

所以．

（2）（充分性）：当为常数数列时，是公差为零的等差数列,即充分性成立．

（必要性）：因为

，

又当为等差数列时，对任意恒成立．

所以 ，

因为，

所以，即，

从而对恒成立，

所以为常数列．

综上可得是等差数列的充要条件是为常数数列．

（3）因为任意，，

又，

所以．

从而

，

即，

则，

所以

．