Question

已知椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为，过右焦点作直线交椭圆于，两点，的周长为，点.

（1）求椭圆的方程；

（2）设直线、的斜率，，请问是否为定值？若是定值，求出其定值；若不是，说明理由.

Answer

（1）（2）是定值,且为

【解析】

（1）由的周长为，得到，即.再由离心率求得，从而可得，得椭圆方程．

（2）直线l斜率不存在时，，直线与轴不垂直时，设直线的方程为，，，由直线方程与椭圆方程联立消元，可得，计算，并代入可得．这样就得出结论．

（1）由的周长为，得到，即.

又因为，所以，

故，

所以椭圆的方程为.

（2）当直线与轴不垂直时，

设直线的方程为，，，

把直线的方程代入，得，

则，，

因为，

而.

即．

当直线与轴垂直时，，即，

所以，即是定值.