Question

函数满足，且、时，成立，若对恒成立.

（1）判断的单调性和对称性；

（2）求的取值范围.

Answer

（1）见解析；（2）.

【解析】

（1）由可得出函数的图象关于直线对称，然后分和两种情况讨论，得出与的大小，可得出该函数在区间上的单调性，再结合对称性，可得出该函数在区间上的单调性；

（2）由，结合（1）中的结论可得出，由此得出（i）或（ii）恒成立，分别求出对应的实数的取值范围，由此可得出实数的取值范围.

（1）由，可得，

所以，函数的对称轴为.

当时，；当时，.

所以，函数在上为增函数，在上为减函数；

（2）由，

可得，

即（i），

或（ii）恒成立.

由（i）得恒成立，

，故恒成立，无解.

由（ii）得恒成立，

可得，即，解得.

综上所述，实数的取值范围是.