Question

已知椭圆：的离心率，且过焦点的最短弦长为3.

（1）求椭圆的标准方程；       

（2）设分别是椭圆的左、右焦点，过点的直线与曲线交于不同的两点、，求的内切圆半径的最大值.

Answer

（1）；（2）

【解析】

（1）利用离心率，过焦点最短的弦为通径以及解方程组即可求解.

（2）根据椭圆的定义设的内切圆的半径最大转化为最大，，由题意知，直线的斜率不为零，可设直线的方程为，将直线与椭圆方程联立，利用韦达定理代入面积式转化为关于的表达式，借助函数的单调性即可求解.

（1）由题意可得，解得，，．

故椭圆的标准方程为．

（2）设，，设的内切圆的半径为，

因为的周长为，，

因此最大，就最大．

，

由题意知，直线的斜率不为零，可设直线的方程为，

由得，

所以，．

又因直线与椭圆交于不同的两点，故，

即，，

则．

令，则，

，

令，

由函数的性质可知，函数在上是单调递增函数，

即当时，在上单调递增，因此有，所以，

即当，时，最大，此时，

故当直线的方程为时，内切圆半径的最大值为．