Question

如图,有一块边长为的正方形铁皮,将其四个角各截去一个边长为的小正方形,然后折成一个无盖的盒子.

(1)求出盒子的体积以为自变量的函数解析式,并写出这个函数的定义域;

(2)如果要做一个容积是的无盖盒子,那么截去的小正方形的边长是多少(精确度0.01,结果保留一位小数)?

Answer

（1）,.（2）或.

【解析】

（1）依题意可知盒子的高为，底面是边长为的正方形，根据长方体的体积公式从而得到函数解析式.

（2）令利用二分法求出函数在给定区间上的零点近似值.

解:(1)根据题意,可知盒子的高为，底面为正方形且边长为

因为解得

故其体积,.

(2)要做一个容积是的无盖盒子,则 .

令,.

∵,,,,,,,,,

∴,,

∴在与内各有一根用二分法逐次计算,列表如下:

中点值

端点或中点函数值符号

根所在区间

,

(0.5,1)

,

(0.75,1)

,

(0.75,0.875)

,

(0.8125,0875)

,

(0.84375,0.875)

,

(0.84375,

0.859375)

,

(0.84375,

0.8515625)

由于,所以方程在区间内的解在区间内.

由于结果要保留一位小数,我们多计算一步得到:

,

因此解在区间内,

所以方程在内的近似解为.

同理,可求出方程在内的近似解为.

故要做成一个容积为的无盖盒子,截去的小正方形的边长大约是或.