Question

如图，过椭圆： 的左右焦点分别作直线， 交椭圆于与，且.

（1）求证：当直线的斜率与直线的斜率都存在时， 为定值；

（2）求四边形面积的最大值.

Answer

（1）见解析;（2）.

【解析】试题分析: (1)设 ,分别将坐标代入椭圆中,得出两等式,相减得出 ,写出的表达式,化简得出结果; (2)设直线 的方程,联立直线的方程和椭圆方程,求出 ,算出的表达式,而 ,代入,用基本不等式求出最大值,再得出四边形面积的最大值.

试题解析: （1）设, ,根据对称性，有，因为, 都在椭圆上，所以， ，二式相减得， ，所以为定值.

（2）当的倾斜角为时， 与重合，舍去.

当的倾斜角不为0时，由对称性得四边形为平行四边形， ，设直线的方程为，代入，得.显然， ， .

所以

设，所以， .所以.

当且仅当即时等号成立，所以.

所以平行四边形面积的最大值为.