Question

数列，定义为数列的一阶差分数列，其中．

（1）若，试判断是否是等差数列，并说明理由；

（2）若，，求数列的通项公式；

（3）对（2）中的数列，是否存在等差数列，使得对一切都成立，若存在，求出数列的通项公式；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）是等差数列，理由见解析 （2） （3）存在，

【解析】

（1）求出的通项公式，即可得出结论；

（2）代入，可得出数列的递推公式，求出，猜测，用数学归纳法证明；

（3）先求出，求出的通项公式，然后证明是否满足条件.

【解析】
（1）

.

所以是等差数列.

（2）∵，

∴，

∵，∴，，，

猜测：.

证明：（数学归纳法）

Ⅰ 时成立，

Ⅱ 假设成立，即，

那么时，

∴，

∴时也成立，

综合ⅠⅡ对任意，都成立.

（3）时，，，

时，，，

若存在等差数列，使得对一切都成立，

只能.

下证符合要求

.

得证.