Question

如图，在四棱锥中，底面为矩形，侧面底面，为棱的中点，为棱上任意一点，且不与点、点重合．．

（1）求证：平面平面；

（2）是否存在点使得平面与平面所成的角的余弦值为？若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）证明见解析 （2）存在，为中点

【解析】

（1）证明面，即证明平面平面；（2）以为坐标原点，为轴正方向，为轴正方向，为轴正方向，建立空间直角坐标系．利用向量方法得，解得，所以为中点．

（1）由于为中点，．

又，故，

所以为直角三角形且，

即．

又因为面，面面，面面，

故面，

又面，所以面面．

（2）由（1）知面，又四边形为矩形，则两两垂直．

以为坐标原点，为轴正方向，为轴正方向，为轴正方向，建立空间直角坐标系．

则，设，

则，

设平面的法向量为，

则有，令，则，

则平面的一个法向量为，

同理可得平面的一个法向量为，

设平面与平面所成角为，

则由题意可得，解得，

所以点为中点．