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已知边长为2的正所在平面外有一点,,当三棱锥的体积最大时,三棱锥外接球的表面积为...

已知边长为2的正所在平面外有一点,当三棱锥的体积最大时,三棱锥外接球的表面积为(  

A. B. C. D.

 

C 【解析】 依题意分析知平面时,三棱锥的体积最大,然后将三棱锥补形成三棱柱,则它们共一个外接球,且上下底面的中心的连线的中点为外接球的球心,由此可计算出球的半径,进一步可计算出球的面积. 设点在平面内的射影为,因为为定值, 所以三棱锥的高最大时,三棱锥的体积最大, 而,即与重合时,三棱锥的高最大, 将三棱锥补形成三棱柱如图所示: 取上下底面的中心为,连,则的中点为三棱柱的中心,也是三棱柱的外接球的球心,也是三棱锥的外接球的球心, 因为,, 所以, 所以三棱锥外接球的表面积为. 故选:C
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A. B. C. D.

 

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B.

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