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已知函数. (1)当时,讨论的单调性; (2)若有两个不同零点,,证明:且.

已知函数.

1)当时,讨论的单调性;

2)若有两个不同零点,证明:.

 

(1)分类讨论,详见解析;(2)详见解析. 【解析】 (1)求导后,令得或,按照与的大小分三种情况讨论即可得到答案; (2)根据(1)知时,函数的极小值大于0,因此函数不可能有2个零点,故, 所以在单调递减,在单调递增,所以极小值,可得,再构造函数,利用导数得到在上递增,从而可得时,,设,则,所以,所以,所以。 (1). 因为,由得,或. i)即时,在单调递减,在单调递增,在单调递减; ii)即时,在单调递减; iii)即时,在单调递减,在单调递增,在单调递减. (2)由(1)知,时,的极小值为, 时,的极小值为, 时,在单调, 故时,至多有一个零点. 当时,易知在单调递减,在单调递增. 要使有两个零点,则,即,得. 令,(),则 ,所以在时单调递增,,. 不妨设,则,,, . 由在单调递减得,,即.
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考点分析:
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已知椭圆过点,且到两焦点的距离之和为.

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女性使用者评分

 

男性使用者评分

7

6

7  8  9  9

1  2  5

7

0  2  2  3  4  5  6  6  7  8  9

0  3  3  3  4  4  5  6  6  8

8

2  4  4  9

0  0  1  2  2  2

9

2

 

记该样本的中位数为,按评分情况将使用者对该APP的态度分为三种类型:评分不小于的称为满意型,评分不大于的称为不满意型,其余的都称为须改进型”.

1)求的值,并估计这400名使用者中须改进型使用者的个数;

2)为了改进服务,公司对不满意型使用者进行了回访,根据回访意见改进后,再从不满意型使用者中随机抽取3人进行第二次调查,记这3人中的女性使用者人数为,求的分布列和数学期望.

 

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