Question

已知函数.

（1）当时，讨论的单调性；

（2）若有两个不同零点，，证明：且.

Answer

（1）分类讨论，详见解析；（2）详见解析.

【解析】

(1)求导后，令得或，按照与的大小分三种情况讨论即可得到答案；

(2)根据(1)知时，函数的极小值大于0，因此函数不可能有2个零点，故，

所以在单调递减，在单调递增，所以极小值，可得，再构造函数，利用导数得到在上递增，从而可得时，，设，则，所以，所以，所以。

（1）.

因为，由得，或.

i）即时，在单调递减，在单调递增，在单调递减；

ii）即时，在单调递减；

iii）即时，在单调递减，在单调递增，在单调递减.

（2）由（1）知，时，的极小值为，

时，的极小值为，

时，在单调，

故时，至多有一个零点.

当时，易知在单调递减，在单调递增.

要使有两个零点，则，即，得.

令，（），则 ，所以在时单调递增，，.

不妨设，则，，， .

由在单调递减得，，即.