Question

对于定义域为R的函数，若函数是奇函数，则称为正弦奇函数.已知 是单调递增的正弦奇函数，其值域为R，.

（1）已知是正弦奇函数，证明：“为方程的解”的充要条件是“为方程的解”；

（2）若，求的值；

（3）证明：是奇函数.

Answer

（1）见解析（2）（3）见解析

【解析】

（1）根据正弦奇函数的定义，结合充要条件的定义，分别证明必要性和充分性，可得结论；

（2）由是单调递增的正弦奇函数，，可得a，b互为相反数，进而得到答案.

（3）根据是单调递增的正弦奇函数，其值域为R，得到：，可得结论.

证明（1）是正弦奇函数，

故是奇函数，

当：“为方程的解”时，，

则，

即“为方程的解”；

故：“为方程的解”的必要条件是“为方程的解”；

当：“为方程的解”时，，

则，

即“为方程的解”；

故：“为方程的解”的充分条件是“为方程的解”；

综上可得：“为方程的解”的充要条件是“为方程的解”；

【解析】
（2）是单调递增的正弦奇函数，

，

则，

则，

则

证明：（3）是单调递增的正弦奇函数，其值域为R，.

故，

即，

，故是奇函数.