Question

如图所示，在中，，，与相交于点M.设，.

（1）试用向量表示.

（2）在线段上取点E，在线段取点F，使过点M.设，，其中当与重合时，，，此时；当与重合时，，，此时.能否由此得出般结论：不论在线段上如何变动，等式恒成立，请说明理由.

Answer

（1）；（2）见解析.

【解析】

（1）设，根据三点共线，得一个等量关系；再根据三点共线，得另一个等量关系,最后解方程组即得结果;

（2）根据三点共线，得，再根据平面向量基本定理得，最后消去即得结论.

（1）不妨设，一方面由三点共线，可知存在（，且）使得，则，于是.

又，所以，从而即①.另一方面由三点共线，可知存在（且）使得，则，于是.

又，

所以，

从而即②.

由①②可得，.

故.

（2）可以得出结论.理由：

由于三点共线，所以存在实数（且）使得，于是.

又，，

所以，

于是，

从而消去即得.