Question

设集合、均为实数集的子集，记：；

（1）已知，，试用列举法表示；

（2）设，当，且时，曲线的焦距为，如果，，设中的所有元素之和为，对于满足，且的任意正整数、、，不等式恒成立，求实数的最大值；

（3）若整数集合，则称为“自生集”，若任意一个正整数均为整数集合的某个非空有限子集中所有元素的和，则称为“的基底集”，问：是否存在一个整数集合既是自生集又是的基底集？请说明理由．

Answer

（1） （2） （3）存在，理由见解析

【解析】

（1）根据新定义，结合已知中的集合、，可得答案；

（2）曲线表示双曲线，进而可得，，则，结合且及基本不等式，可得进而得到答案；

（3）设整数集合，其中为斐波那契数列，即，，，

①由得：，可得是自生集；

②对于任意，对于任一正整数，存在集合的一个有限子集，使得，（，），再用数学归纳法证明集合又是的基底集．

【解析】
（1）∵；

当，时，

；

（2）曲线，即，在时表示双曲线，

故，

∴，

∵，

∴中的所有元素之和为，

∴，

∵，且，

∴，

∴，

即实数的最大值为；

（3）存在一个整数集合既是自生集又是的基底集，理由如下：

设整数集合，其中为斐波那契数列，

即，，，

下证：整数集合既是自生集又是的基底集，

①由得：，

故是自生集；

②对于任意，对于任一正整数，存在集合的一个有限子集，

使得，（，），

当时，由，，，，知结论成立；

假设结论对时成立，

则时，只须对任何整数讨论，

若，则，，

故，，

由归纳假设，可以表示为集合中有限个绝对值小于的元素的和．

因为，

所以可以表示为集合中有限个绝对值小于的元素的和．

若，则结论显然成立．

若，则，，

由归纳假设知，可以表示为集合中有限个绝对值小于的元素的和．

所以，当时结论也成立；

由于斐波那契数列是无界的，

所以，任一个正整数都可以表示成集合的一个有限子集中所有元素的和．

因此集合又是的基底集．