Question

如图是函数的部分图像，是它与轴的两个不同交点，是之间的最高点且横坐标为，点是线段的中点.

（1）求函数的解析式及的单调增区间；

（2）若时，函数的最小值为，求实数的值.

Answer

（1）；；（2）.

【解析】

（1）由点是线段的中点可得以及个周期，再利用最高点的坐标可求的值，从而得到函数的解析式，最后利用正弦函数的性质可求单调增区间.

（2）令，利用可求的范围，再就对称轴的位置分类讨论求出的最小值后可求的值.

（1）因为点是线段的中点，

故且，所以，故且，

故即，故.

又，故即.

因为，故，所以.

令，解得，

故单调增区间为：.

（2）令，因为，故，所以.

令.

当时，，解得.

当时，，解得（舍）.

当时，，故，但，故此时无解.

综上，.