Question

已知函数，其中，其中.

（1）判断并证明函数在上的单调性；

（2）求的值

（3）是否存在这样的负实数，使对一切恒成立，若存在，试求出取值的集合；若不存在，说明理由.

Answer

（1）证明见解析；（2）；（3）.

【解析】

（1）利用减函数的定义可证明为上的减函数.

（2）可证对任意的恒成立，从而可得所求的值.

（3）利用的单调性和奇偶性可把原不等式转化为对任意的均成立，参变分离后可求实数的取值范围.

（1），为减函数.

设任意，则，

因为，故

所以

故即，

所以，因此在上为减函数.

（2）,

,

故.

（3）因为，故，

故，而，该定义域关于原点对称，故为奇函数.

故等价于.

由（1）可知在上为减函数，

故，

所以对任意均成立，

故即.

故的取值集合为.