Question

如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，，平面，且，设，分别为，的中点.

（1）求证：平面；

（2）求直线与平面所成角的正弦值.

Answer

（1）证明见解析（2）

【解析】

（1）利用线面平行的性质定理即可得到结论；

（2）方法一：利用几何法求线面角，一作，二证，三求解；方法二：利用空间直角坐标系，线面角的向量关系即可得到结论.

（1）解析：因为底面为平行四边形，是中点，所以是中点，所以，平面，平面，所以平面.

（2）解析1：（几何法）

因为平面，平面平面，

所以直线与平面的交点即为与的交点，设为，

，所以为等边三角形，取中点，

则，因为平面，所以平面平面，

平面平面，，所以平面，

所以是直线与平面所成角，

因为，分别为，的中点，所以是的重心，

在中，，所以，在平行四边形中，，

在中，，

在中，，所以，

所以，又因为，

所以，即直线与平面所成角的正弦值为.

解析2：（向量法）

取中点，则，因为平面，

所以平面，

因为，所以为等边三角形，

所以，此时，，两两垂直，

如图，建立空间直角坐标系，，，

在中，，所以，由，得，

所以，平面的法向量为，

所以，

所以，

即直线与平面所成角的正弦值为.