Question

已知抛物线：过点，为其焦点，过且不垂直于轴的直线交抛物线于，两点，动点满足的垂心为原点.

（1）求抛物线的方程；

（2）求证：动点在定直线上，并求的最小值.

Answer

（1）（2）证明见解析,的最小值为

【解析】

（1）直接将代入抛物线方程即可得到答案；

（2）设直线方程为，联立方程，表示出，运用基本不等式即可得到结论.

（1）由题意，将点代入，

即，解得，

所以，抛物线的方程为.

（2）解析1：（巧设直线）

证明：设：，，，联立，可得，则有，可设：，即，同理：，解得，即动点在定直线：上.

，当且仅当时取等号.其中，分别为点和点到直线的距离.

（2）解析2：（利用向量以及同构式）

证明：设：，，，联立，可得，则有.，，又为的垂心，从而，代入化简得：，同理：，从而可知，，是方程的两根，所以，所以动点在定直线：上.

，当且仅当时取等号.其中，分别为点和点到直线的距离.