Question

已知函数，其中.

（1）求函数的单调区间；

（2）使不等式对任意，恒成立时最大的记为，求当时，的取值范围.

Answer

（1）在上单调递增，在单调递减（2）（3）

【解析】

（1）求出函数的导函数，通过讨论的范围，求出函数的单调区间即可；

（2）分离变量得不等式，由恒成立把，放缩程一个新不等式，再构造一个新函数，讨论出的范围，即可得到结论.

（1）因的定义域为，，

当时，，∴在上单调递减；

当时，在上单调递减，，

∴在上单调递增，在单调递减；

（2）.

∵，，∴，

令，

由（1）在上递增；

（1）当，即时，，∴在上递增；

∴.

（2）当，即时，，∴在上递减；

∴.

（3）当时，在上递增；

存在唯一实数，使得，

则当时.当时.

∴.

∴.此时.

令在上递增，

，∴.

综上所述，.