Question

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2acosB＝2c﹣b．

（1）求∠A的大小；

（2）若△ABC的外接圆的半径为，面积为，求△ABC的周长．

Answer

（1）A．（2）6+2．

【解析】

（1）先由正弦定理化简求解∠A；（2）通过外接圆半径和∠A大小通过正弦定理求得的值，再用∠A余弦定理和面积联立求解b+c，即可求得△ABC的周长.

（1）∵2acosB＝2c﹣b，

∴由正弦定理可得：2sinAcosB＝2sinC﹣sinB，可得：2sinAcosB＝2sinAcosB+2sinBcosA﹣sinB，

∴2sinBcosA＝sinB，

∵sinB≠0，

∴cosA，

又0＜A＜π，

∴A．

（2）∵A，

∴由正弦定理可得：a＝2RsinA＝6，

∵SbcsinA4，解得bc＝16，

∴由余弦定理a2＝b2+c2﹣2bccosA，可得：36＝b2+c2﹣bc＝（b+c）2﹣3bc＝（b+c）2﹣48，

∴解得b+c＝2，

∴△ABC的周长a+b+c＝6+2．