Question

已知函数f（x）＝|2x﹣3|+x+1．

（1）求函数f（x）的最小值；

（2）当x≥1时，关于x的不等式f（2^x）＜4^x+2a恒成立，求实数a的取值范围．

Answer

（1）f（x）的最小值为1（2）（0，+∞）

【解析】

（1）根据绝对值的意义，将绝对值符号去掉，分段研究函数的单调性，从而求得函数的最小值；

（2）当x≥1时，2x≥2，所以f（2x）＜4x+2a即为3•2x﹣2＜4x+2a，即2a＞3•2x﹣2﹣4x，利用换元，令t＝2x，t≥2，式子可转化为2a＞﹣t2+3t﹣2，利用最值求得结果.

（1）当x时，f（x）＝3x﹣2，f（x）递增，可得f（x）≥1；

当x时，f（x）＝4﹣x，f（x）递减，可得f（x），

则f（x）的最小值为1；

（2）当x≥1时，关于x的不等式f（2x）＜4x+2a恒成立，

可得2x≥2，f（2x）＜4x+2a即为3•2x﹣2＜4x+2a，

即2a＞3•2x﹣2﹣4x，令t＝2x，t≥2，可得2a＞﹣t2+3t﹣2，

设g（t）＝﹣t2+3t﹣2，t≥2，可得g（t）在[2，+∞）递减，g（t）的最大值为g（2）＝﹣4+6﹣2＝0，

可得2a＞0，即a＞0，

则a的取值范围是（0，+∞）．