Question

已知函数f（x）＝Acos（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，φ＜0）的图象与y轴的交点为（0，1），它的一个最高点和一个最低点的坐标分别为（x₀，2），（x₀，﹣2），

（1）若函数f（x）的最小正周期为π，求函数f（x）的解析式；

（2）当x∈（x₀，x₀）时，f（x）图象上有且仅有一个最高点和一个最低点，且关于x的方程f（x）﹣a＝0在区间[，]上有且仅有一解，求实数a的取值范围．

Answer

（1）f（x）＝2cos（2x）（2）（﹣1，]∪{﹣2}

【解析】

（1）由最高点纵坐标得A＝2，由题意T＝π，得到ω＝2，从而有f（x）＝2cos（2x+φ）再将（0，1）代入，求得cosφ，结合φ＜0的条件，得到φ，从而确定出函数f（x）的解析式；

（2）根据当x∈（x0，x0）时，f（x）图象上有且仅有一个最高点和一个最低点，x0x0，得到T＝π，求得ω＝2，求得f（x）＝2cos（2x），当x∈[，]时，2x∈[，]，研究函数y＝2cost，t∈[，]，得到结果.

（1）由最高点纵坐标得A＝2，

又T＝π＝2π÷ω⇒ω＝2；

∴f（x）＝2cos（2x+φ），

代入点（0，1）⇒cosφ；

∵φ＜0，∴φ；

∴f（x）＝2cos（2x）．

（2）∵当x∈（x0，x0）时，f（x）图象上有且仅有一个最高点和一个最低点，

∴x0x0⇒T＝π⇒ω＝2；

∴f（x）＝2cos（2x）．

f（x）﹣a＝0⇔f（x）＝a；

当x∈[，]时，2x∈[，]，

令t＝2x．则t∈[，]，

y＝2cost，t∈[，]，

函数y＝2cost在[，π]上单调递减，y＝2cost∈[﹣2，]；

函数y＝2cost在[π，]上单调递增，y＝2cost∈[﹣2，﹣1]；

∴a∈（﹣1，]∪{﹣2}；

故实数a的取值范围是：（﹣1，]∪{﹣2}．