Question

已知函数f（x）是R上的奇函数．

（1）若x∈[，]，求f（x）的取值范围

（2）若对任意的x₁∈[1，，总存在x₂∈[，]使得mlog₂（﹣6x₁²+24x₁﹣16）﹣f（x₂）0（m＞0）成立，求实数m的取值范围．

Answer

（1）[4，5]（2）.

【解析】

（1）利用奇函数的性质，结合f（0）＝0，求得a＝2，从而确定出函数的解析式，之后换元，令t＝sinx，结合题中所给的自变量的范围，求得，得到函数，利用函数的单调性求得结果；

（2）根据题意，将问题转化为两个函数值域之间的关系，先求出两个函数的值域，之后应用具备包含关系的两个集合的特征，列出对应的不等式组，求得结果.

（1）由题意，f（0）＝0，即a﹣2＝0，解得a＝2，

∴，令t＝sinx，由x∈[，]得，，

∴，

易知函数g（t）在上单调递增，故g（t）∈[4，5]，

∴f（x）的取值范围为[4，5]；

（2）由已知，对任意的x1∈[1，，总存在x2∈[，]使得mlog2（﹣6x12+24x1﹣16）f（x2）（m＞0）成立，

设函数，的值域为集合A，函数的值域为集合B，

由已知，A⊆B，由（1）得B＝[4，5]，

当x1∈[1，时，，，

故，

则，

解得，

又m＞0，故实数m的取值范围为.