Question

如图,在三棱柱中,侧面底面ABC, ,且,O为AC中点.

(1)求直线与平面所成角的正弦值;
(2)在上是否存在一点E,使得平面,若不存在,说明理由;若存在,确定点E的位置.

Answer

（1）.；（2）E为的中点.

【解析】

(1)由已知中,O为AC中点,根据等腰三角形“三线合一”的性质,可得,又由已知中侧面底面ABC,故平面ABC,以O为原点,OB,OC,所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,分别求出直线的方向向量与平面的法向量,代入空间向量夹角公式,即可得到直线与平面所成角的正弦值;
(2)设出E点的坐标,根据平面,则OE的方向向量与平面的法向量垂直,数量积为零,我们可以求出E点坐标,进而确定E点的位置.

（1）如图，因为，且O为AC的中点，所以平面平面，交线为，且平面，所以平面.

以O为原点，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系.由题意可知，又

所以得:

则有：

设平面的一个法向量为，则有

，

令，得

所以.

因为直线与平面所成角和向量与所成锐角互余，

所以.

（2）设

即，得

所以得

令平面，得，

即得即存在这样的点E，E为的中点.