Question

已知函数，.

（1）讨论函数的单调性；

（2）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.

Answer

（1）当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增.（2）

【解析】

（1）求出，讨论的取值范围判断的正负即可求解.

（2）根据题意不等式化为恒成立，然后采用分离参数法化为，令，利用导数求出函数的最小值即可求解.

【解析】
（1），

当时，，在上单调递增；

当时，，，

则时，，在上单调递减；

时，，在上单调递增；

综上，当时，在上单调递增；

当时，在上单调递减，在上单调递增.

（2）由题意知时，恒成立，即恒成立，

即，只需，

令，则.

令，则.

∵，∴，∴在上单调递增，

∴，因此，故在上单调递增，

则，所以，实数的取值范围是.