Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线的焦点F在y轴上，其准线与双曲线的下准线重合．

（1）求抛物线的标准方程；

（2）设A(，)(＞0)是抛物线上一点，且AF＝，B是抛物线的准线与y轴的交点．过点A作抛物线的切线l，过点B作l的平行线l′，直线l′与抛物线交于点M，N，求△AMN的面积．

Answer

（1）；（2）

【解析】

（1）根据双曲线的下准线求得抛物线的准线方程，由此求得抛物线的标准方程.

（2）根据抛物线的定义求得点的坐标，由此求得切线的方程，求得点的坐标，进而求得直线的方程，由此求得弦长，利用点到直线距离公式求得到直线的距离，进而求得三角形的面积.

（1）双曲线的下准线方程为.设抛物线的标准方程为，由题意，，所以，所以抛物线的标准方程为.

（2）由，得，所以.由即，得，所以抛物线在点处的切线的斜率为，所以直线的方程为，即.因为抛物线的准线与轴的交点的坐标为，所以直线的平行线的方程为，由消去得.设的横坐标分别为，则，所以.点到直线的距离为，所以.