Question

已知函数.

(1)讨论函数的单调性;

(2)当时，若曲线与曲线存在唯一的公切线，求实数的值;

(3)当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.

Answer

（1）见解析（2）（3）

【解析】

（1），分和讨论函数的单调性；

（2）曲线，曲线，设该公切线与分别切于点，显然，利用导数的几何意义和两点间的斜率公式求得，解得，

问题等价于直线与曲线在时有且只有一个公共点，利用导数求的值域；

（3）问题等价于不等式，当时恒成立，设，先求，再求，分和两种情况讨论函数的最小值，判断是否成立.

解:(1)，

当时，恒成立，在上单调递减，

当时，由，解得，

由于时，导函数单调递增，

故，单调递减，

单调递增.

综上，当时在上单调递减;

当时， 在上单调递减，在上单调递增. .

(2)曲线与曲线存在唯一公切线，设该公切线与分别切于点，显然.

由于，

所以，

，

由于，故，且

因此，

此时，

设

问题等价于直线与曲线在时有且只有一个公共点，

又，令，解得，

则在上单调递增，上单调递减，

而，当时，

所以的值域为.

故.

(3)当时，，问题等价于不等式

，当时恒成立.

设，，

又设

则

而.

(i)当时，即时，

由于，

此时在上单调递增.

所以

即，所以在上单调递增

所以，

即，

故适合题意.

(ii)当时，，

由于在上单调递增，

令，

则，

故在上存在唯一，使，

因此当时，单调递减，

所以，

即在上单调递减，

故，

亦即，

故时不适合题意，

综上，所求的取值范围为.