Question

如图所示，已知不共面的直线a，b，c相交于O，M，P是直线a上两点，N，Q分别是直线b，c上一点.求证：MN与PQ是异面直线.

Answer

见解析

【解析】

利用反证法,假设MN与PQ不是异面直线,则共面.利用点和直线的位置关系可得矛盾,进而假设不成立,即原结论成立.

直接应用点和直线的位置关系,证明两条直线MN与PQ没有公共点,也可证明MN与PQ是异面直线.

证明：方法一:（反证法）假设MN与PQ不是异面直线

则MN与PQ在同一平面内,设此平面为

∴,,,

∵,

∴

又∵

∴

又∵,,,

∴,

∴a,b,c共面于,这与a,b,c不共面矛盾

∴假设不成立

∴MN与PQ是异面直线

方法二:∵

∴由a,c确定一个平面,设为

∵,

∴,

∴,且,

又∵a,b,c不共面,

∴

∴MN与PQ是异面直线