Question

抛物线y=x²﹣2xsinα+1的顶点在椭圆x²+my²=1上，这样的抛物线有且只有两条，则m的取值范围是_____.

Answer

（0，1）

【解析】

根据题意求出抛物线的顶点坐标，再代入椭圆的方程，即可得到cos2α=0或cos2α=，又因为对应的sinα有2个不同的值，所以看到cos2α=无解，进而得到答案.

由题意可得：抛物线y=x2﹣2xsinα+1的顶点坐标为：（sinα，cos2α），

因为抛物线y=x2﹣2xsinα+1的顶点在椭圆x2+my2=1上，

所以将顶点代入椭圆方程可得：sin2α+mcos4α=1，即mcos4α=cos2α，

解得：cos2α=0或cos2α=，

因为这样的抛物线有且只有两条，

所以对应的sinα有2个不同的值，

所以cos2α=无解，即0＜m＜1.

故答案为：（0，1）.