Question

斜三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁，已知侧面BB₁C₁C与底面ABC垂直且∠BCA=90°，∠B₁BC=60°，BC=BB₁=2，若二面角A﹣B₁B﹣C为30°

（1）求AB₁与平面BB₁C₁C所成角的正切值；

（2）在平面AA₁B₁B内找一点P，使三棱锥P﹣BB₁C为正三棱锥，并求P到平面BB₁C距离.

Answer

（1）；（2）

【解析】

（1）由侧面BB1C1C与底面ABC垂直且∠BCA=90°知AC⊥平面BB1C1C，则有∠AB1C为AB1与平面BB1C1C所成的角，连接B1C，则∠AB1C为AB1与平面BB1C1C所成的角，在Rt△ACB1中可求得tan∠AB1C.

（2）在AD上取点P，使AP=2PD，则P点为所求，在CD上取点O，使CO=2OD，连PO，则易知三棱锥P﹣BB1C为正三棱锥，故可求.

（1）由侧面BB1C1C与底面ABC垂直且∠BCA=90°知AC⊥平面BB1C1C，

取BB1的中点D，AC⊥平面BB1C1C，

∴AC⊥BB1，

∴BB1⊥平面ADC，

∴AD⊥BB1，

∴∠CDA为二面角A﹣BB1﹣C的平面角，∴∠CDA=30°，

∵CD=，∴AC=1，

连接B1C，则∠AB1C为AB1与平面BB1C1C所成的角，

在Rt△ACB1中tan∠AB1C=，

（2）在AD上取点P，使AP=2PD，则P点为所求，

在CD上取点O，使CO=2OD，连PO，

则PO∥AC，且PO=，

∵AO⊥平面BB1C，

∴PO⊥平面BB1C 且 BB1C为等边三角形，

∴三棱锥P﹣BB1C为正三棱锥，

且P到平面BB1C的距离为PO，PO=.