Question

已知双曲线的中心在原点，焦点F₁、F₂在坐标轴上，焦距是实轴长的倍且过点（4，﹣）

（1）求双曲线方程；

（2）若点M（3，m）在双曲线上，求证：点M在以F₁F₂为直径的圆上；

（3）在（2）条件下，若M F₂交双曲线另一点N，求△F₁MN的面积.

Answer

（1）x2﹣y2=6；（2）证明见解析；（3）

【解析】

（1）求出离心率e，故可等轴设双曲线的方程为x2﹣y2=λ（λ≠2），过点（4，﹣），可得16﹣10=λ，即可求双曲线方程；

（2）求出向量坐标，利用向量的数量积公式，即可证明结论.

（3）利用M与F2可得直线方程，求出N的纵坐标，然后求解三角形的面积.

（1）∵焦距是实轴长的倍，

∴e=，故可等轴设双曲线的方程为x2﹣y2=λ（λ≠2），

∵过点（4，﹣），∴16﹣10=λ，

∴λ=6.

∴双曲线方程为x2﹣y2=6.

（2）证明：由（1）可知：在双曲线中，a=b=，∴c=2.

∴F1（﹣2，0），F2（2，0）.

∴=（﹣2﹣3，﹣m），

=（2﹣3，﹣m）.

∴=+m2=﹣3+m2.

∵M点在双曲线上，∴9﹣m2=6，∴m2=3.

∴，

∴点M在以F1F2为直径的圆上；

（3）由（2）不妨M（3，），F2（2，0），直线M F2的方程为：y=（﹣2﹣）（x﹣2），代入双曲线方程可得：

消去x可得：（6﹣4）y2﹣4（2﹣）y+6=0，

因为M的纵坐标为，

所以N的纵坐标为： ，

解得y2=﹣（2+），

△F1MN的面积为： =12+4.