Question

如图，在三棱柱中，平面，是的中点，，，.

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）求平面与平面所成锐二面角的平面角的余弦值.

Answer

（Ⅰ）证明见解析,（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）连结交于点，连结，可知，根据线面平行的判定定理，证明即可.

（Ⅱ）法一: 由，，可知，即，根据平面，可知平面，即，，以为原点，，，所在直线分别为，， 轴，建立空间直角坐标系，求各点坐标，计算平面的法向量为，平面的法向量为，根据，求解即可. 法二：延长、交于，连接，过作于，过作于，连接，则平面，，又，所以平面，为平面与平面所成锐二面角的平面角. 由，，，计算

，，利用，求解，即可.

（Ⅰ）证明：连结交于点，连结.

则为中点，为中位线.

所以.

又平面，平面.

所以平面.

（Ⅱ）法一：因为，是的中点，所以.

又因为，所以，则

即，所以.

又因为平面，所以建立如图所示空间直角坐标系，则，，，，.

平面的法向量为.

设平面的法向量为，则由，，得

令，则，.

所以平面与平面所成的锐二面角的余弦值为.

法二：延长、交于，连接，过作于，

过作于，连接，

则平面，，又，所以平面，

为平面与平面所成锐二面角的平面角.

中，，所以高为中线，，，

∵，∴，∴，

中，，

，∴

中，，，

所以平面与平面所成锐二面角的平面角的余弦值为.