Question

当前，以“立德树人”为目标的课程改革正在有序推进.高中联招对初三毕业学生进行体育测试，是激发学生、家长和学校积极开展体育活动，保证学生健康成长的有效措施.某地区2019年初中毕业生升学体育考试规定，考生必须参加立定跳远、掷实心球、1分钟跳绳三项测试，三项考试满分为50分，其中立定跳远15分，掷实心球15分，1分钟跳绳20分.某学校在初三上期开始时要掌握全年级学生每分钟跳绳的情况，随机抽取了100名学生进行测试，得到如下频率分布直方图，且规定计分规则如下表：

每分钟跳 绳个数
得分	16	17	18	19	20

（Ⅰ）现从样本的100名学生中，任意选取2人，求两人得分之和不大于33分的概率；

（Ⅱ）若该校初三年级所有学生的跳绳个数服从正态分布，用样本数据的平均值和方差估计总体的期望和方差（结果四舍五入到整数），已知样本方差（各组数据用中点值代替）.根据往年经验，该校初三年级学生经过一年的训练，正式测试时每人每分钟跳绳个数都有明显进步，假设明年正式测试时每人每分钟跳绳个数比初三上学期开始时个数增加10个，利用现所得正态分布模型：

（ⅰ）预估全年级恰好有1000名学生，正式测试时每分钟跳193个以上的人数.（结果四舍五入到整数）

（ⅱ）若在该地区2020年所有初三毕业生中任意选取3人，记正式测试时每分钟跳202个以上的人数为，求随机变量的分布列和期望.

附：若随机变量服从正态分布，，则，

，

Answer

（Ⅰ）,（Ⅱ）（ⅰ）,（ⅱ）分布列见解析 ,

【解析】

（Ⅰ）根据频率分布直方图计算，每分钟跳绳个数的人数为（人）每分钟跳绳个数的人数为（人），由题意可知，两人得分之和不大于33分，即两人得分均为16分，或两人中1人16分，1人17分，根据互斥事件概率加法公式，计算即可.

（Ⅱ）根据频率分布直方图计算样本的均值，可知正式测试时期望的估计值，方差，计算，，（ⅰ）根据正态分布的对称性，计算，求解人数即可. （ⅱ）由正态分布模型，在该地区2020年初三毕业生中任取1人，每分钟跳绳个数202以上的概率为，则服从二项分布，即，计算分布列和期望，即可.

（Ⅰ）由题意可知，得16分的人数为5人，得17分的人数为9人，两人得分之和不大于33分，即两人得分均为16分，或两人中1人16分，1人17分.

所以，两人得分之和不大于33分的概率为：.

（Ⅱ）（个）

又，，所以正式测试时，，.

∴，.

（ⅰ）∴，∴（人）.

（ⅱ）由正态分布模型，在该地区2020年初三毕业生中任取1人，每分钟跳绳个数202以上的概率为，即.

∴，，

，，

∴的分布列为

0

1

2

3

.