Question

在圆上任取一点，过点作轴的垂线段，为垂足，当点在圆上运动时，点在线段上，且，点的轨迹为曲线.

（1）求曲线的方程；

（2）过抛物线：的焦点作直线交抛物线于，两点，过且与直线垂直的直线交曲线于另一点，求面积的最小值，以及取得最小值时直线的方程.

Answer

（1）,（2）9 ,

【解析】

（1）利用相关点法求轨迹方程，设，则，代入圆的方程，整理，即可.

（2）法一：分类讨论，当直线的斜率不存在时，，，，当直线的斜率存在时，则，设直线的方程为，与，联立整理，计算，设直线的方程为，与，联立整理，计算，根据，令，则，，判断单调性，确定时，面积最小，求解即可. 法二：设直线的方程设为，与联立，计算，设直线的方程为与，联立，计算，以下同法一.

（1）设，，则由于，依题知：，.即，，

而点在圆上，故，

得，故曲线的方程为.

（2）法一：抛物线的焦点为，

当直线的斜率不存在时，，，，

当直线的斜率存在时，则，设，，

直线的方程设为，代入，

消去得，即，

则，，

∴，

的直线方程为：，代入，

消去得，，

，

，，

，

面积：，

令，则，则，

，

令，则，即，当时，为减函数，当时，为增函数，所以时，面积最小．

由得时，面积的最小值为，

此时直线的方程为：，即．

法二：抛物线的焦点为，

过点的直线的方程设为：，设，，

联立得.则，，

∴，

过且与直线垂直的直线设为：，

联立得，，

，．

∴，

面积．

令，则，，

令，则，即，当时，为减函数，当时，为增函数，所以时，面积最小．

由得时，面积的最小值为9，

此时直线的方程为：，即．