Question

已知函数.

（1）若在上存在极大值，求的取值范围；

（2）若轴是曲线的一条切线，证明：当时，.

Answer

（1）；（2）证明见解析

【解析】

（1）求得的导函数，对分成三种情况，结合在上存在极大值，求得的取值范围.

（2）首先根据轴是曲线的一条切线求得的值，构造函数，利用导数求得在区间上的最小值为，由此证得，从而证得不等式成立.

（1）【解析】
，令，得，.

当时，，单调递增，无极值，不合题意；

当时，在处取得极小值，在处取得极大值，

则，又，所以；

当时，在处取得极大值，在处取得极小值，

则，又，所以.

综上，的取值范围为.

（2）证明：由题意得，或，即（不成立），或，

解得.

设函数，，

当或时，；当时，.

所以在处取得极小值，且极小值为.

又，所以当时，，

故当时，.