Question

如图，在四棱锥中，已知四边形是边长为的正方形，点在底面上的射影为底面的中心点，点在棱上，且的面积为1．

（1）若点是的中点，求证：平面平面；

（2）在棱上是否存在一点使得二面角的余弦值为？若存在，求出点的位置；若不存在，说明理由．

Answer

（1）证明见解析；（2）存在点符合题意，点为棱靠近端点的三等分点

【解析】

（1）利用等腰三角形“三线合一”证明平面,进而证明平面平面；

（2）分别以为轴,轴,轴建立空间直角坐标系,设,利用平面的法向量求二面角,进而计算得到即可

（1）∵点在底面上的射影为点,∴平面,

∵四边形是边长为的正方形,∴,

∵三角形的面积为1,∴,即,∴,

∵,点是的中点,

∴,同理可得,

又因为,平面,

∴平面,

∵平面,

∴平面平面

（2）存在,

如图,连接,易得两两互相垂直,

分别以为轴,轴,轴建立空间直角坐标系,

则,假设存在点使得二面角的余弦值为,

不妨设,

∵点在棱上,∴,

又,

∴,

∴,

,,

设平面的法向量为,则,∴,

令,可得,∴平面的一个法向量为,

又平面的一个法向量为,二面角的余弦值为,

∴,即,

解得或（舍）

所以存在点符合题意,点为棱靠近端点的三等分点