Question

如图，在多面体中，四边形为直角梯形，，，四边形为矩形，平面平面，，，点为的中点，点为的中点.

（1）求证：；

（2）求二面角的余弦值.

Answer

（1）证明见解析（2）

【解析】

（1）先根据线面垂直的判定定理，得到平面，根据题意，以为坐标原点，所在直线分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系.表示出，求两向量的数量积，从而可判断出结果；

（2）根据（1）的坐标系，分别求出平面与平面的法向量，求出两向量夹角，从而可得出结果.

（1）证明：平面平面，平面平面，，平面，

平面；

又，

如图，以为坐标原点，所在直线分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系.

由已知得，，，，，

所以，，

，

；

（2）设平面的一个法向量，则

所以，令，得，则

又平面，故取平面的一个法向量

由图可知，二面角的余弦值为.