Question

在①离心率，②椭圆过点，③面积的最大值为，这三个条件中任选一个，补充在下面（横线处）问题中，解决下面两个问题.

设椭圆的左、右焦点分别为，过且斜率为的直线交椭圆于两点，已知椭圆的短轴长为，________.

（1）求椭圆的方程；

（2）若线段的中垂线与轴交于点，求证：为定值.

Answer

（1）选①，（2）证明见解析

【解析】

（1）选①，根据题意，得到，求解，即可得出结果；

（2）先讨论时，求出；再讨论时，设直线的方程为，，联立直线与椭圆方程，根据韦达定理，以及弦长公式等，求出，再求出线段的中垂线方程，得到，求出，进而可求出结果.

（1）选①，由题意可得：，解得

所以所求椭圆的方程为；

（2）（i）当时，

（ii）当时，由题意可得：.

设直线的方程为，设，

由整理得：

显然，且，

所以

所以线段的中点，

则线段的中垂线方程为，

令，可得，即，又，

所以，

所以，即