Question

某工厂生产并销售某高科技产品，已知每年生产该产品的固定成本是800万元，生产成本e（单位；万元）与生产的产品件数x（单位：万件）的平方成正比；该产品单价p（单位：元）与生产的产品件数x满足（b为常数），已知当该产品的单价为300元时，生产成本是1800万元，当单价为320元时，生产成本是200万元，且工厂生产的产品都可以销售完．

（1）每年生产该产品多少万件时，平均成本最低，最低为多少?

（2）若该工厂希望年利润不低于8200万元，则每年大约应该生产多少万件该产品?

Answer

（1）每年生产该产品20万件时，平均成本最低，最低为80万元．（2）不小于50万件，不大于60万件

【解析】

（1）先求出成本，单价两者分别与生产的产品件数的函数关系式，再写出总成本函数关系，进而求得平均成本函数关系式，根据均值不等式求解即可.（2）写出利润和产品数量的函数关系，化简后为二次函数，转化为解二次不等式.

设．

当单价为300元时，设产品件数为则

①

当单价为320元时，设产品件数为，则

②

联立①②解得，

，

（1）设该工厂生产x万件产品的总成本为y万元，平均成本为s万元，则

当且仅当，即时，s取得最小值，最小值为80．

∴每年生产该产品20万件时，平均成本最低，最低为80万元．

（2）设该工厂生产x万件产品时的利润为t万元，则

令

解得

∴若该工厂年利润不低于8200万元，则每年生产的产品数应不小于50万件，不大于60万件．