Question

某山村为响应习近平总书记提出的“绿水青山就是金山银山”的号召，积极进行生态文明建设，投资64万元新建一处农业生态园.建成投入运营后，第一年需支出各项费用11万元，以后每年支出费用增加2万元.从第一年起，每年收入都为36万元.设表示前年的纯利润总和（前年的总收入-前年的总支出费用-投资额）

（1）求的表达式，计算前多少年的纯利润总和最大，并求出最大值；

（2）计算前多少年的年平均纯利润最大，并求出最大值.

Answer

（1），.前13年的纯利润总和最大，最大值为105万元.（2）前8年的年平均纯利润最大，最大值为10万元.

【解析】

(1)根据题意知每年的支出费用构成等差数列，求出通项公式，从而求出前年的纯利润总和，利用一元二次函数的单调性求得最值；(2)求出前年的年平均纯利润的表达式，利用均值不等式可求得最值.

（1）由题意，每年的支出费用组成首项为11，公差为2的等差数列，

故前年的总支出费用为，

∴，.

，

∴时，取得最大值105，

即前13年的纯利润总和最大，且最大值为105万元.

（2）由（1）知，前年的年平均纯利润为

,

∵，当且仅当，即时等号成立，

∴，

即前8年的年平均纯利润最大，且最大值为10万元.